椭圆及其标准方程（1）.doc 椭圆及其标准方程（1）

【教学目标】

1．理解椭圆的定义

2．熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程

3．能由椭圆定义推导椭圆的方程

4．能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养抽象概括能力和逻辑思维能力

【教学重点与难点】

椭圆的定义和标准方程

【自主学习】

（1）定义：平面内与两个定点F₁，F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹．称F₁，F₂为椭圆的焦点，|F₁F₂|为焦距．

思考：当定长 = 焦距时，轨迹为 ；

（2）根据椭圆的定义，推导椭圆的标准方程：

已知：|F₁F₂| = 2c，|MF₁| + |MF₂| = 2a，其中a > c．

求：点的轨迹方程．

解：首先建立直角坐标系，使F₁，F₂落在x轴上，F₁F₂的中点为坐标原点，则F₁的坐标为(-c, 0)，F₂的坐标为(c, 0)，令M的坐标为(x, y)，则由两点间的蹴公式有

代入已知条件，得

整理得 (a² - c²)x² +a²y² =a²(a² -c²)，

可写成

由于a > c，令a² - c² = b²（a > b > 0），

则方程变为 （*）

称（*）式为焦点在x轴上的椭圆标准方程．

焦点坐标:

考虑到这种坐标系的选取并不是惟一的，当焦点落在y轴上时，只要交换（*）式中的x，y的位置，即

焦点坐标:

注意：在椭圆中的满足

【典型例题】

例1、 = 1 \* GB3 ①若动点P到两定点F₁(－4,0)，F₂(4,0)的距离之和为8，

则动点P的轨迹为

= 2 \* GB3 ②已知椭圆的方程为 ，则a＝____，b＝____，c＝___，

焦点坐标为：_ _ _，焦距等于_ ___。

如果曲线上一点P到焦点的距离为8，则点P到另一个焦点的距离等于___ 。

= 3 \* GB3 ③若椭圆满足: a＝5 , c＝3 ,求它的标准方程

= 4 \* GB3 ④

= 5 \* GB3 ⑤在圆内有一点A（1，0），Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C、Q的连线的交点为M，求M点的轨迹方程.

分析：定义法求轨迹方程关键是找到动点满足的条件，本题中M在CQ上，且有：MA=MQ.

小结：

思考：（1）

（2）怎样判断焦点在哪个轴上?

【随堂练习】

1. 已知椭圆方程为中，F₁, F₂分别为它的两个焦点，则下列说法：

①焦点在x轴上，其坐标为(±7, 0)；

② 若椭圆上有一点P到F₁的距离为10，则P到F₂的距离为4；

③焦点在y轴上，其坐标为(0, ±2)；

④ a=49, b=9, c=40，

正确的有 .

2．椭圆上一点P到焦点的距离等于6，则点P到另一个焦点的距离是 .

3．椭圆的焦点坐标为 ，焦距为 .

4．椭圆的焦点坐标为_______________.

5．方程 ，化简的结果是_____________.

6．已知椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆相交于A、B两点，则 的周长为____________.

7．两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于是10，则椭圆的标准方程为 .

8．ABC的两个顶点坐标A(-4,0)、B(4,0)，ABC的周长是18，顶点C的轨迹为 .