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基本不等式及其应用

一．课前练习

1.若x>0，则x+

2.函数y=x+(x>-1)的值域为 .

3.函数y=2-x-(x>0)的最大值为 .

4.已知正数x，y满足x+2y=1，那么+的最小值为 .

二 例题讲解

目标1 利用基本不等式求最值

例1　如图所示，已知函数y=a^x+b（b>0)的图象经过点P(1，3)，则+的最小值为 .

题组强化

1.已知x<0，那么y=2+x+的最大值是 .

2.若log₄(3a+4b)=log₂，则a+b的最小值是  

3.已知正实数a，b满足9a²+b²=1，则的最大值为 .

4.设a>0，b>0，a+b=5，则+的最大值为 .

目标2 利用基本不等式解恒成立问题

例2  已知对一切实数x，不等式x²+a|x|+1≥0恒成立，求实数a的取值范围.

变式 (1)设k>0，若关于x的不等式kx+≥5在(1，+∞)上恒成立，则k的最小值为 .

(2)已知xln x-(a+1)x+1≥0对任意的x∈恒成立，那么实数a的取值范围为 .

目标3 不等式的含参问题

例4 设对任意实数x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a<0恒成立，则实数a的取值范围是 .

例5 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=C且7a²+b²+c²=4，则△ABC面积的最大值为 .

变式 设P(x，y)为函数y=x²-1(x>)图象上一动点，记m=+，则当m取最小值时，点 P的坐标为 .