第4课时　两角和与差的正切(1)

知识技能

1. 能以两角和与差的正弦、余弦公式为基础推导出两角和与差的正切公式．

2. 能运用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值．

思想方法

通过让学生自主探索、发现并推导两角和差的正切公式，培养学生用联系的观点分析问题并解决问题的能力、化归能力．

核心素养

通过同角三角函数的关系，推导出两角和与差的正切公式，提升学生的逻辑推理素养；依托例题教学，提升学生的数学运算素养；同时激发学生学习数学的兴趣，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神．

重点：两角和与差的正切公式及其应用．

难点：两角和与差的正切公式的灵活运用．

预习教材P63～65，思考下面的问题：

1. 当α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z时， sinα， cosα， tanα三者之间有什么关系？

2. 我们可以通过α， β的正弦、余弦求α＋β的正弦、余弦，那么能不能通过α， β的正切求α＋β的正切？

3. 两角和与差的正切公式是对于任意的角都成立吗？

一、 问题情境

回顾“两角和与差的余弦”中求tan15°的过程，我们是先分别求出sin15°， cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，那么能否由tan45°和tan30°直接求出tan15°呢？^[1]

二、 数学建构

问题1　能将上面的问题一般化吗？对于一般的角α， β，当α， β， α＋β的正切值存在时，能由tanα， tanβ直接表示tan(α＋β)吗？

tan(α＋β)＝eq \f(sin(α＋β),cos(α＋β))＝eq \f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ－sinαsinβ)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).

问题2　上述公式对于任意角α， β都成立吗？

当α， β， α＋β均不等于kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z时，式子才成立，这就是两角和的正切公式，记为T_(α＋β)．

问题3　如何由tanα， tanβ直接表示tan(α－β)?

方法1：tan(α－β)＝eq \f(sin(α－β),cos(α－β))＝

eq \f(sinαcosβ－cosαsinβ,cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).

方法2：用－β代换β，就可以得到tan(α－β)＝eq \f(tanα＋tan(－β),1－tanαtan(－β))＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).

公式理解

1. 结构特征：公式T_(α±β)右边分子上的符号与左边的符号一致，而分母的符号与分子的符号相反；分子是两角正切值的和与差，分母含有两角正切值的积．

2. 公式T_(α±β)中的α， β， α＋β， α－β的正切值都存在时，公式T_(α±β)才能成立．

三、 数学运用

(1) 已知tanα＝eq \f(1,2)， tanβ＝eq \f(1,3)，则tan(α＋β)＝________；

(2) 已知tanα＝3，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝________.^[2]

[处理建议]　本题是公式的直接运用，可让学生自己求解．

[规范板书]　解　(1) tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.

(2) taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq \f(tan\f(π,4)－tanα,1＋tan\f(π,4)tanα)＝eq \f(1－3,1＋1×3)＝－eq \f(1,2).

已知α， β均为锐角，且tanα＝eq \f(1,2)， tanβ＝eq \f(1,3)，则α＋β＝________.

[处理建议]　引导学生思考：(1) 要求角的大小，先要求什么？(角的某个三角函数值和角的范围)

(2) 本题中用哪个三角函数？为什么？(本题中用正切．一是因为题中涉及角的正切；二是因为α＋β∈(0, π)，且在此范围内一个正切值对应一个角)

[规范板书]　解　tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.因为α， β均为锐角，所以α＋β∈(0, π)，故α＋β＝eq \f(π,4).

[题后反思]　求角的大小，先求角的某一三角函数值和角的范围．

(教材P65例3)如图，三个相同的正方形相接，求证：α＋β＝eq \f(π,4).

(变式2)

[处理建议]　引导学生选择适当的三角函数求解．

[规范板书]　解　方法1：由题可知tanα＝eq \f(1,2)， tanβ＝eq \f(1,3)，

所以tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.

因为α， β均为锐角，所以α＋β∈(0, π)，故α＋β＝eq \f(π,4).

方法2：由题可知cosβ＝eq \f(3\r(10),10)， sinβ＝eq \f(\r(10),10)， cosα＝eq \f(2\r(5),5)， sinα＝eq \f(\r(5),5)，

所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq \f(3\r(10),10)×eq \f(2\r(5),5)－eq \f(\r(10),10)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(\r(2),2).

因为α， β均为锐角，所以α＋β∈(0, π)，故α＋β＝eq \f(π,4).

1. 若tanα＝2, tanβ＝3，则tan(α＋β)＝－1,_tan(α－β)＝－eq \f(1,7).

2. 已知α为锐角， cosα＝eq \f(\r(5),5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝－3.

提示　由cosα＝eq \f(\r(5),5)， α为锐角，得sinα＝eq \f(2\r(5),5)，则tanα＝2，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋2,1－2×1)＝－3.

化简：eq \f(1－\r(3)tan75°,\r(3)＋tan75°).^[3]

[处理建议]　引导学生观察式子结构和公式T_(α－β)之间的关系，将其还原为公式T_(α－β)的形式再求解．

[规范板书]　解　原式＝eq \f(\f(\r(3),3)－tan75°,1＋\f(\r(3),3)tan75°)＝eq \f(tan30°－tan75°,1＋tan30°tan75°)＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.

[题后反思]　对公式T_(α±β)的整体理解是解题的关键．

(教材P64例2改编)求值：eq \f(1－tan15°,1＋tan15°).

[规范板书]　解　原式＝eq \f(tan45°－tan15°,1＋tan45°tan15°)＝tan(45°－15°)＝eq \f(\r(3),3).

1. 计算eq \f(1＋tan75°,1－tan75°)的值是(B)

A. eq \r(3) B. －eq \r(3)

C. eq \f(\r(3),3) D. －eq \f(\r(3),3)

提示　原式＝eq \f(tan45°＋tan75°,1－tan45°tan75°)＝tan(45°＋75°)＝tan120°＝tan(180°－60°)＝

－tan60°＝－eq \r(3).

2. (多选)已知tanα＝lg10a, tanβ＝lgeq \f(1,a)，且α＋β＝eq \f(π,4)＋kπ， k∈Z，则实数a的值可能是(AB)

A. 1                                                     B. eq \f(1,10)

C. －eq \f(1,10) D. －1

提示　由题意知tan(α＋β)＝eq \f(lg10a＋lg\f(1,a),1－lg10a·lg\f(1,a))＝1，化简得lg10a·lgeq \f(1,a)＝0，即lg10a＝0或lgeq \f(1,a)＝0，解得a＝eq \f(1,10)或a＝1.

已知tanα与tanβ是方程x²－3x－3＝0的两个根，求tan(α＋β)的值．^[4]

[处理建议]　本题可以先直接求出tanα， tanβ，然后利用公式求tan(α＋β)；也可以用韦达定理先求tanα＋tanβ， tanαtanβ，然后利用公式求tan(α＋β)．最后让学生比较这两种方法的繁易程度．

[规范板书]　解　方法1：因为方程x²－3x－3＝0的两个根为eq \f(3±\r(21),2)，

所以tanα＋tanβ＝3, tanαtanβ＝－3，

故tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(3,1－(－3))＝eq \f(3,4).

方法2：由题可知Δ＝(－3)²－4×(－3)＝21>0，

所以tanα＋tanβ＝3, tanαtanβ＝－3，

故tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(3,1－(－3))＝eq \f(3,4).

已知tanα与tanβ是方程x²－3x－3＝0的两个根，求sin²(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos²(α＋β)的值．

[规范板书]　解　由题可知Δ＝(－3)²－4×(－3)＝21>0，

所以tanα＋tanβ＝3, tanαtanβ＝－3，

那么tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(3,1－(－3))＝eq \f(3,4).

故sin²(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos²(α＋β)＝eq \f(sin²(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos²(α＋β),sin²(α＋β)＋cos²(α＋β))＝eq \f(tan²(α＋β)－3tan(α＋β)－3,tan²(α＋β)＋1)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))²－3×\f(3,4)－3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))²＋1)＝－3.

[题后反思]　利用韦达定理优化计算，探寻tanαtanβ与tanα＋tanβ的关系；变式求解要构造齐次式将正、余弦转化为tan(α＋β)来解决．

1. 已知0<α<eq \f(π,2)， 0<β<eq \f(π,2)，且tanα， tanβ是方程3x²＋4x－1＝0的两根，求α＋β的大小．

解　由题意知Δ＝4²－4×3×(－1)＝28＞0，所以tanα＋tanβ＝－eq \f(4,3)， tanα·tanβ＝－eq \f(1,3)，则 tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(－\f(4,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝－1.

因为0<α<eq \f(π,2)， 0<β<eq \f(π,2)，所以α＋β∈(0, π), 故α＋β＝eq \f(3π,4).

^* 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α， β，

(例4)

它们的终边分别与单位圆相交于A, B两点，已知A, B的横坐标分别为eq \f(\r(2),10)， eq \f(2\r(5),5).

(1) 求tan(α＋β)的值；

(2) 求α＋2β的值．^[5]

[处理建议]　引导学生根据三角函数的定义，求出tanα， tanβ，从而求出tan(α＋β)和tan(α＋2β)，并通过α＋2β的范围确定α＋2β的大小．

[规范板书]　解　由题意知cosα＝eq \f(\r(2),10)， cosβ＝eq \f(2\r(5),5)，

而α， β为锐角，所以sinα＝eq \f(7\r(2),10)， sinβ＝eq \f(\r(5),5).

因此tanα＝7, tanβ＝eq \f(1,2).

(1) tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝－3.

(2) tan(α＋2β)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((α＋β)＋β))＝

eq \f(tan(α＋β)＋tanβ,1－tan(α＋β)tanβ)＝－1.

因为α， β为锐角， 所以0<α＋2β<eq \f(3π,2)， 故α＋2β＝eq \f(3π,4).

[题后反思]　注重对三角函数定义的基本概念的理解，利用拆角的方法求正切值；学会分析问题，寻找思路，结合图形和条件确定角(α＋2β)的范围后再求解．

已知tanα＝eq \f(1,7)， tanβ＝eq \f(1,3)，且α， β都是锐角，求α＋2β的值．

[规范板书]　解　tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(1,2)， tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝eq \f(tan(α＋β)＋tanβ,1－tan(α＋β)tanβ)＝1.

因为α， β都是锐角，且eq \f(1,7)<1, eq \f(1,3)<1，所以0<α<eq \f(π,4)， 0<β<eq \f(π,4)， 0<α＋2β<eq \f(3π,4)，从而α＋2β＝eq \f(π,4).

四、 课堂小结

1. 运用两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式．

2. 两角和与差的正切公式的结构特征和角的限制．

3. 求角的步骤：先求出某个三角函数值，再根据角的范围求解.

[1] 教师可在黑板上书写tan15°＝eq \f(sin15°,cos15°)＝eq \f(sin(45°－30°),cos(45°－30°))＝eq \f(sin45°cos30°－cos45°sin30°,cos45°cos30°＋sin45°sin30°)，并引导学生将式子的右边转化为正切，让学生体会由特殊到一般的归纳过程．

[2] 巩固两角和与差的正切公式的运用．

[3] 巩固公式T_(α－β)的逆运用．

[4] 结合方程情境巩固对公式T_(α＋β)的运用．

[5] 巩固三角函数的定义和公式T_(α＋β)．